berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Analysis
    • Funktionalanalysis
      • partielle Differentialgleichungen
• Physik
  • Quantenmechanik

ist Beispiel von

• Vektorraum
• metrischer Raum
  • vollständiger Raum

ist Spezialfall von

• • normierter Raum
  • Innenproduktraum
  • Banach-Raum
  • Unitärer Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

Jeder Hilbertraum ist automatisch ein Banach-Raum und hat so alle dessen Merkmalen. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Rieszsche Darstellungssatz : Jeder Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.

Das Merkmal der Isomorphie eines Raums zu seinem Dualraum bezeichnet man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.

• mit dem euklidischen Skalarprodukt.
• mit
• Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen (L²) mit dem L²-Skalarprodukt: . Eine exaktere Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich in dem Artikel über L^p-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
• Der Raum aller Folgen mit der Merkmal, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Merkmale solcher Räume behandelte.

Wichtige Konzepte für den Umgang mit Hilbert-Räumen sind u.a. Orthogonalität, Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient , Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung

An der Georg-August-Universität in Göttingen, wo David Hilbert lange Jahre lehrte und forschte, gibt es einen Hilbertraum, nämlich das Foyer des Mathematischen Institutes, im eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist. Die amüsante Zweideutigkeit des Namens wird ausländischen Gästen meist nicht klar: in dem Englischen heißt ein mathematischer Raum space und nicht etwa room.

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)